劳动合同履行期间可否提出签订无固定期限劳动合同

案例某公司最近兼并了另外一家公司,兼并以后,没有和该公司的职工重新签订劳动合同。现在该公司想与职工刘某解除劳动关系,刘某认为其原来的劳动合同还没到期,解除劳动合同应按其工作年限支付经济补偿金。但公司认为公司并没与刘某签订劳动合同,况且刘某在该公司只工作了十几天,所以没有必要给刘某支付经济补偿金。双方因此发生了争议。